المصفـوفــات
المصفوفات
تعرف المصفوفة في الرياضيات بأنها مجموعة مستطيلة من الأرقام منتظمة بشكل أعمدة وأسطر
يدعى كل جزء رقم في المصفوفة بعنصر أو مدخل. كمثال على المدخلات في المصفوفة أعلاه 1, 9, 13, 20, 55 ,4. يدل عادة على أي مدخل في مصفوفة ما باسم المصفوفة بحرف لاتيني صغير وأسفله رقمين صغيرين بحيث يمثل الرقم الأول رقم الصف والثاني رقم العمود مثل الشكل المرفق. يمكن جمع وطرح المصفوفات ذات نفس القياس. كما يمكن ضرب المصفوفات بأنسجام معين في القياس. ولهذه العمليات العديد من خصائص الحساب العادي, باستثناء أن ضرب المصفوفات ليس بعملية تبديلية, وبشكل عام يمكن أن نقول أن A.B لا يساوي B.A. تعرف المصفوف المؤلفة من صف واحد أو عمود واحد بمتجه. أما المصفوفة ذات القياس الأكبر تعرف بموتر.
تعتبر المصفوفات من إحدى أهم مفاتيح الجبر الخطي. فيمكن أن تستخدم المصفوفات في حل النقل الخطي. يتوافق ضرب المصفوفات مع النقل الخطي الدالة المركبة. كما يمكن للمصفوفات تتبع المعاملات في نظام المعادلات الخطية
يمكن تعريف المصفوفة عامة على أنها دالة رياضية خطية تحول مجموعة بداية أي انطلاق (مجال) إلى مجموعة وصول أو نهاية (مدى). مجموعة الانطلاق والوصول يمكن أن تكون متكونة من أعداد صحيحة أو عقدية أو أشعة من الأعداد كما يمكن أن تكون هاتان المجموعتان متكونة بدورها من دالات رياضية أو أشعة دالات رياضية. ويمكن أن نرمز للمصفوفة بمعقفين يكتب بينهما عناصر المصفوفة كما هو مبين أسفله
العمليات على المصفوفات
الجمع
خواص عملية جمع المصفوفات
الابدال
لأى مصفوفتين A,B من نفس الحيز تحقق العلاقة
ِA + B = B + A و هذه الخاصية تعنى انه لا عبرة لترتيب اجراء عملية جمع المصفوفات.
الدمج
لأى ثلاث مصفوفات A,B,C من نفس الحيز تحقق العلاقة
A + (B + C) = (A + B) + C
و هذه الخاصية توضح كيف يمكن جمع أكثر من مصفوفتين حيث لا يشترط البدء بترتيب معين.
وجود المحايد الجمعى
المحايد الجمعى في علم الجبر بصفة عامة هو ذلك العنصر الذي إذا جمعته على أي عنصر آخر لا تتغير قيمة العنصر الأخير. ومن الواضح أن الذي يؤدى هذا الدور في المصفوفات هو المصفوفة الصفرية, ولكن يجب التنبيه على أن المحايد الجمعى في الأعداد هو عنصر وحيد وهو الصفر أما في المصفوفات فالمحايد الجمعى هو المصفوفة الصفرية وهذه ليست مصفوفة واحدة ولكنها تختلف باختلاف الحيز فلجميع المصفوفات التي تبدأ من الحيزmxn يكون المحيد الجمعى هو المصفوفة الصفرية .
وجود المعكوس الجمعى
في علم الجبر بصفة عامة يعرف المعكوس الجمعى لعنصر ما بأنه عنصر آخر إذا جمعته على العنصر الأول كان الناتج هو المحايد الجمعى. كما تقول في الأعداد إن -3 هو المعكوس الجمعى للعدد 3 لأن 3+ (-3) = 0 وبنفس المنطق نجد ان المعكوس الجمعى لمصوفة هو مصفوفة أخرى من نفس الحيز مع تغيير إشارة جميع العناصر. فعلى سبيل المثال المعكوس الجمعى للمصفوفة
بصفة عامة نقول إن
المعكوس الجمعى للمصفوفة A هو المصفوفة A- حيث تنتج المصفوفة الأخيرة من ضرب جميع عناصر المصفوفة في -1
ضرب المصفوفات
إنّ ضرب المصفوفات في الرياضيات تشير إلى عملية ضرب مصفوفة ما بعدد أو بمصفوفة أخرى
معكوس المصفوفةمعكوس المصفوفة يقصد به المعكوس الضربى للمصفوفة بحيث يكون حاصل ضرب المصفوفة في معكوسها يساوى مصفوفة الوحدة
ايجاد معكوس المصفوفة
يمكن ايجاد معكوس المصفوفة من القانون التالى: A − 1 = (1 / | A | )adjA |A| يقصد بها محددة المصفوفة و adj A هي المصفوفة المرتبطة
المصفوفة الشاذة
هى المصفوفة التي ليس لها معكوس ويمكن تحديد ما إذا كانت المصفوفة شاذة أو لا إذا كانت 0=|a|فهى مصفوفة شاذة. في هذه الحالة يمكن الإستعانة بعملية مشابهة ألا وهي عملية شبه عكس المصفوفة.
لحساب معكوس المصفوفة
- حساب محددة المصفوفة والتاكد انه لا يساوى صفر
- حساب المصفوفة المرتبطة
- حساب المعكوس
خواص معكوس المصفوفة
- معكوس خاصل ضرب مصفوفتين غير شاذتين يساوى حاصل ضرب معكوس كل من المصفوفتين
- معكوس مدور المصفوفة يساوى مدور نعكوس المصفوفة
